कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y + y^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

चरण 2.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

चरण 2.5.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y = y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 y = y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y - (2 y)}{M}$

चरण 4.3

$y^{2}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y^{2}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$y - 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.1.2

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.1.3

$- 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.1.4

$y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

चरण 4.3.3

$y$ और $y^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

चरण 4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

चरण 4.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

चरण 4.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{y}$

चरण 4.3.4

$y^{2}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

चरण 5.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

चरण 6

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y^{2}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

चरण 6.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

चरण 6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

चरण 6.3

$x y + y^{2} - 1$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

चरण 6.4

$x y + y^{2} - 1$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

चरण 12.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

भिन्न $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

चरण 12.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1

$x y + y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

चरण 12.1.2.2.1.2

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

चरण 12.1.2.2.1.3

$y x + y \cdot y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

चरण 12.1.2.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

चरण 12.1.2.2.2.2

$x + y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

चरण 12.1.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

चरण 12.1.3

$x + y - \frac{1}{y} - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

चरण 12.1.3.2

$y - \frac{1}{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $y - \frac{1}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

चरण 13.5

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

चरण 13.6

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

चरण 13.7

सरल करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = y x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

चरण 15

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$