कैलकुलस उदाहरण

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2x}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[x\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle -y}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -xy}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -y\frac{d}{dx}\left[x\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ और ${\displaystyle 0}$ जोड़ें.

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

${\displaystyle y}$ को ${\displaystyle M}$ से प्रतिस्थापित करें.

${\displaystyle 2}$ में से ${\displaystyle 1}$ घटाएं.

${\displaystyle -y}$ में से ${\displaystyle -1}$ का गुणनखंड करें.

${\displaystyle 1}$ को ${\displaystyle -1(-1)}$ के रूप में फिर से लिखें.

${\displaystyle -\left(y\right)-1(-1)}$ में से ${\displaystyle -1}$ का गुणनखंड करें.

${\displaystyle -(y-1)}$ को ${\displaystyle -1(y-1)}$ के रूप में फिर से लिखें.

${\displaystyle y}$ को ${\displaystyle M}$ से प्रतिस्थापित करें.

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो ${\displaystyle 0}$ के मान वाला एक शब्द डालें.

भाज्य ${\displaystyle y}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक ${\displaystyle y}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए ${\displaystyle y+0}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

चूंकि ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle y{e}^{-y+\ln \left(y\right)}x}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle x\frac{d}{dy}\left[y{e}^{-y+\ln \left(y\right)}\right]}$ है.

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(y\right)g\left(y\right)\right]}$ ${\displaystyle f\left(y\right)\frac{d}{dy}\left[g\left(y\right)\right]+g\left(y\right)\frac{d}{dy}\left[f\left(y\right)\right]}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(y\right)=y}$ और ${\displaystyle g\left(y\right)=e^{-y+\ln \left(y\right)}}$ है.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(y\right)=e^y}$ और ${\displaystyle g\left(y\right)=-y+\ln \left(y\right)}$ है.

योग नियम के अनुसार, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle -y+\ln \left(y\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{d}{dy}[-y]+\frac{d}{dy}\left[\ln \left(y\right)\right]}$ है.

चूंकि ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle y}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle -y}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\frac{d}{dy}\left[y\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle \ln \left(y\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle e^{-y+\ln \left(y\right)}}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

वितरण गुणधर्म लागू करें.

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle e^{-y+\ln \left(y\right)}x}$ और ${\displaystyle e^{-y+\ln \left(y\right)}x}$ जोड़ें.

गुणनखंडों को ${\displaystyle \frac{dg}{dy}-e^{-y+\ln \left(y\right)}xy+2e^{-y+\ln \left(y\right)}x}$ में पुन: क्रमित करें.

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

${\displaystyle -xy{e}^{-y+\ln \left(y\right)}+2x{e}^{-y+\ln \left(y\right)}-2x{e}^{-y+\ln \left(y\right)}-e^{-y+\ln \left(y\right)}+xy{e}^{-y+\ln \left(y\right)}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

चूंकि ${\displaystyle \frac{dg}{dy}}$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

${\displaystyle -\frac{dg}{dy}=-e^{-y+\ln \left(y\right)}}$ के प्रत्येक पद को ${\displaystyle -1}$ से भाग दें और सरल करें.