कैलकुलस उदाहरण

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ के प्रत्येक पद को $x e^{- t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ के प्रत्येक पद को $x e^{- t}$ से विभाजित करें.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

चरण 1.1.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

चरण 1.1.2.2

$e^{- t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

चरण 1.1.2.2.2

$\frac{d x}{d t}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

जोड़ना.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

चरण 1.4.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$e^{- t} x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

चरण 1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

चरण 1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

चरण 1.4.3

$t$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$e^{- t}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

चरण 2.3.1.2

घातांक को ${(e^{- t})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

चरण 2.3.1.2.2

$- t \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

चरण 2.3.1.2.2.2

$t$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.3.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

चरण 2.3.3

$t$ के संबंध में $e^{t}$ का इंटीग्रल $e^{t}$ है.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

चरण 2.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

चरण 3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

चरण 3.2.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3

गुणनखंडों को $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ में पुन: क्रमित करें.

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

चरण 3.4

$2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 t e^{t}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

चरण 3.4.2

$- 2 e^{t}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

चरण 3.4.3

$2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

चरण 3.4.4

$2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

चरण 3.4.5

$2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

चरण 4

चूँकि $x$ प्रारंभिक स्थिति $(0, 1)$ में धनात्मक है, $K$ ज्ञात करने के लिए केवल $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ पर विचार करें. $t$ के लिए $0$ और $x$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

चरण 5

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

चरण 5.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

चरण 5.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ को ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

घातांक को ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.2.2

$0$ को $1$ से गुणा करें.

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.3

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.1

$0$ में से $1$ घटाएं.

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.3.2

सरल करें.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 2 + 2 K = 1$

चरण 5.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$2 K = 1 + 2$

चरण 5.4.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$2 K = 3$

चरण 5.4.2

$2 K = 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$2 K = 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

चरण 5.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

चरण 5.4.2.2.1.2

$K$ को $1$ से विभाजित करें.

$K = \frac{3}{2}$

चरण 6

$\frac{3}{2}$ को $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{3}{2}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

चरण 6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

चरण 6.3

$e^{t} t$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

चरण 6.4

$e^{t} t$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

चरण 6.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

चरण 6.6

$2$ को $e^{t} t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

चरण 6.7

$- e^{t}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

चरण 6.8

$- e^{t}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

चरण 6.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

चरण 6.10

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

चरण 6.11

$2$ और $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ को मिलाएं.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

चरण 6.12

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.12.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

चरण 6.12.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

चरण 6.12.2

$2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

चरण 6.13

गुणनखंडों को $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ में पुन: क्रमित करें.

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$