कैलकुलस उदाहरण

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{3}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $3 x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $6 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $6 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

चरण 1.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

चरण 1.4

$0$ और $12 x y$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{3}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x^{2} y + 4 y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $6 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2} y$ का व्युत्पन्न $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

चरण 2.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4 y^{3}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$12 y x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

चरण 2.5.2

$12 y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $12 x y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $12 x y$ प्रतिस्थापित करें.

$12 x y = 12 x y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$12 x y = 12 x y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

चरण 5.2

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

चरण 5.4

चूँकि $6 y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $6 y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.3

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.4

$6$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.5

$y^{2}$ और $\frac{6}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.6

$6$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.7

$6$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.8

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.8.1

$6 y^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

चरण 5.7.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

चरण 5.7.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

चरण 5.7.8.2.4

$3 y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{3}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $3 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y^{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.3.2

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $6 x^{2} y$ जोड़ें.

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$

चरण 9.1.2

$6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$6 x^{2} y$ में से $6 x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

चरण 9.1.2.2

$4 y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $4 y^{3}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

चरण 10.3

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ को $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

चरण 10.5.2.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

चरण 10.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

चरण 10.5.2.3

$y^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y^{4} + C$

चरण 11

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + y^{4} + C$