कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$- \frac{2 y}{x + 1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

चरण 1.2

$y$ और $- \frac{2}{x + 1}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

चरण 2.2

$- \frac{2}{x + 1}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

चरण 2.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.4

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.2.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 2.2.5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

${(x + 1)}^{- 2}$

चरण 2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2.3

$\frac{2}{x + 1}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2.4

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\frac{2 y}{x + 1}$ को $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2.4.2

घातांक जोड़कर $x + 1$ को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$x + 1$ को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1.1

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2.4.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.2.4.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

चरण 3.3

${(x + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

${(x + 1)}^{3}$ में से ${(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

चरण 7.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

चरण 7.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

चरण 7.4

सरल करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

चरण 8.3

दोनों पक्षों को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1

${(x + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ और ${(x + 1)}^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.3

$x {(x + 1)}^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.4

$x {(x + 1)}^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.6

$x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ में से $x {(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.6.1

$x^{2} {(x + 1)}^{2}$ में से $x {(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.6.2

$x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ में से $x {(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.6.3

$x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ में से $x {(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.2.1.7

$C {(x + 1)}^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 8.4.2.1.8

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.8.1

$C {(x + 1)}^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

चरण 8.4.2.1.8.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

चरण 8.4.2.1.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.9.1

$x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ में से ${(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.9.1.1

$x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ में से ${(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

चरण 8.4.2.1.9.1.2

$C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ में से ${(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

चरण 8.4.2.1.9.1.3

${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ में से ${(x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

चरण 8.4.2.1.9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

चरण 8.4.2.1.9.3

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

चरण 8.4.2.1.9.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

चरण 8.4.2.1.9.5

$2$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$