कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

चरण 1

समीकरण को $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x (- y)$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

चरण 1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

चरण 1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

चरण 2.2

$- 2 \cdot - 1 x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{\int 2 x d x}$

चरण 2.2.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int x d x}$

चरण 2.2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

चरण 2.2.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

चरण 2.2.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

चरण 2.2.4.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

चरण 2.2.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 x^{2} + C}$

चरण 2.2.4.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x^{2} + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x^{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{x^{2}}$ से गुणा करें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

चरण 3.2.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

चरण 3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

चरण 3.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

चरण 3.3.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

चरण 3.3.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

चरण 3.3.3.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 7.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 7.3

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

चरण 7.3.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 7.3.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 7.3.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 7.3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{x^{2}} (2 x)$

चरण 7.3.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 e^{x^{2}} x$

चरण 7.3.1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x e^{x^{2}}$

चरण 7.3.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 7.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 7.5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

चरण 7.6

मान लीजिए $u_{3} = x^{2}$ .फिर $d u_{3} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

मान लें $u_{3} = x^{2}$ . $\frac{d u_{3}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 7.6.1.2

$2 x$

चरण 7.6.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

चरण 7.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$\frac{1}{2}$ और $u_{2}$ को मिलाएं.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

चरण 7.7.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{3}$ को मिलाएं.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 7.7.3

$\frac{u_{3}}{2}$ और $e^{u_{3}}$ को मिलाएं.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

चरण 7.8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{3}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

चरण 7.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 7.9.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 7.9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 7.9.3

$\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 7.10

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u_{3}$ और $dv = e^{u_{3}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 7.11

$u_{3}$ के संबंध में $e^{u_{3}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{3}}$ है.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

चरण 7.12

सरल करें.

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

चरण 7.13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.13.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x^{2}}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

चरण 7.13.2

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

चरण 7.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.14.1

$e^{x^{2}}$ में से $e^{x^{2}}$ घटाएं.

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

चरण 7.14.2

$x^{2} e^{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

चरण 8

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x^{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x^{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$e^{x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 8.3.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$