कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$8 x^{3} y - 8 x y$ में से $8 x y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$8 x^{3} y$ में से $8 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

चरण 1.1.1.2

$- 8 x y$ में से $8 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

चरण 1.1.1.3

$8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ में से $8 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

चरण 1.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

चरण 1.1.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

चरण 1.1.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

चरण 1.3.2

$8$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

चरण 1.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$x y (x + 1) (x - 1)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

चरण 1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

चरण 1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

चरण 1.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

चरण 1.3.5

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

चरण 1.3.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

चरण 1.3.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} + x) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

चरण 1.3.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

चरण 1.3.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.8.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.8.1.1.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.8.1.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8.1.1.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8.1.2

$- 1$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8.1.3

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8.1.4

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

चरण 1.3.8.1.5

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

चरण 1.3.8.1.6

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

चरण 1.3.8.2

$- x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

चरण 1.3.8.3

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

चरण 1.3.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

चरण 1.3.10

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 8$ बटे $x$ अचर है, $- 8$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$8$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2

$8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3

$- 8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4

$- 8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.4.1

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ को $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$