कैलकुलस उदाहरण

$(2 x - y) d x - (x + 4 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - y]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

चरण 1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (x + 4 y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 4 y)]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (x + 4 y)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x + 4 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 4 y]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [4 y])$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $4 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

चरण 2.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 1$ प्रतिस्थापित करें.

$- 1 = - 1$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 1 = - 1$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - (x + 4 y) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - (x + 4 y)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int x + 4 y d y$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = - (\int x d y + \int 4 y d y)$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = - (x y + C + \int 4 y d y)$

चरण 5.4

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 \int y d y)$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2}) + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2}) + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2}) + g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- (x y + 2 y^{2}) + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (x y + 2 y^{2})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y + 2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ है.

$- (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3.3

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3.4

$- (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$- (y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.3.7

$y$ और $0$ जोड़ें.

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- y + \frac{d g}{d x} = 2 x - y$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - y = 2 x - y$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - y + y$

चरण 9.1.2

$2 x - y + y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

चरण 9.1.2.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $2 x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 x d x$

चरण 10.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 \int x d x$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

चरण 10.5.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = x^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2}) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2}) + x^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = - (x y) - (2 y^{2}) + x^{2} + C$

चरण 12.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} + x^{2} + C$