कैलकुलस उदाहरण

$3 x (x y - 2) d x + (x^{3} + 2 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x (x y - 2)]$

चरण 1.2

चूंकि $3 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x (x y - 2)$ का व्युत्पन्न $3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

चरण 1.4

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2])$

चरण 1.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + \frac{d}{d y} [- 2])$

चरण 1.7

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + 0)$

चरण 1.8

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot x$

चरण 1.9

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x)$

चरण 1.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x^{1})$

चरण 1.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{1 + 1}$

चरण 1.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{3} + 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

चरण 2.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x^{2}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 x^{2}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 x (x y - 2) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 \int x (x y - 2) d x$

चरण 5.2

$x (x y - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = 3 \int x (x y) + x \cdot - 2 d x$

चरण 5.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y + x \cdot - 2 d x$

चरण 5.2.3

$x$ और $- 2$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y - 2 x d x$

चरण 5.2.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x y - 2 x d x$

चरण 5.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x^{1} y - 2 x d x$

चरण 5.2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = 3 \int x^{1 + 1} y - 2 x d x$

चरण 5.2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} y - 2 x d x$

चरण 5.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = 3 (\int x^{2} y d x + \int - 2 x d x)$

चरण 5.4

चूँकि $y$ बटे $x$ अचर है, $y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 (y \int x^{2} d x + \int - 2 x d x)$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x)$

चरण 5.6

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x)$

चरण 5.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

चरण 5.8

सरल करें.

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + C$

चरण 5.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.2

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$\frac{1}{3}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.2.1.2

$\frac{y}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ है.

$3 (\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{x^{3}}{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y x^{3}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$3 (\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.4

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.5

चूंकि $y$ के संबंध में $- x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.6

$\frac{x^{3}}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.7

$\frac{x^{3}}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$3 \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.8

$3$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.9

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.3.9.2

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = x^{3} + 2 y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y - x^{3}$

चरण 9.1.2

$x^{3} + 2 y - x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

चरण 9.1.2.2

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $2 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 2 y d y$

चरण 10.3

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 2 \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

चरण 10.5.2.3

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{3}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

चरण 12.1.2

$\frac{y}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

चरण 12.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

चरण 12.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

चरण 12.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{3} - 3 x^{2} + y^{2} + C$