कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 3 y + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - 3 y) + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

चरण 1.1.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 3) + 1 (x - 3)}{x y + 2 y - x - 2}$

चरण 1.1.2

महत्तम समापवर्तक, $x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{x y + 2 y - x - 2}$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x y + 2 y) - x - 2}$

चरण 1.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{y (x + 2) - (x + 2)}$

चरण 1.2.2

महत्तम समापवर्तक, $x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

चरण 1.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

चरण 1.4

दोनों पक्षों को $\frac{y - 1}{y + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} (\frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\frac{x - 3}{x + 2}$ को $\frac{y + 1}{y - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

चरण 1.5.2

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$(x + 2) (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

चरण 1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{x + 2}$

चरण 1.5.3

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$(x - 3) (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

चरण 1.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

चरण 1.5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2}$

चरण 1.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{y - 1}{y + 1} d y = \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$y - 1$ को $y + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$1$

$y$

$1$

चरण 2.2.1.2

भाज्य $y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	-	$1$

चरण 2.2.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$1$

चरण 2.2.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$

चरण 2.2.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$
					-	$2$

चरण 2.2.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 1 - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d y + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} - \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.5

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{y + 1} d y) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.7

मान लीजिए $u_{1} = y + 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

मान लें $u_{1} = y + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 2.2.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.7.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.7.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.8

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$y + C_{1} - 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.9

सरल करें.

$y - 2 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.2.10

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 3$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$

$2$

$x$

$3$

चरण 2.3.1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$3$

चरण 2.3.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			+	$x$	+	$2$

चरण 2.3.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$

चरण 2.3.1.5

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$
					-	$5$

चरण 2.3.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 2} d x$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

चरण 2.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 2} d x$

चरण 2.3.5

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

चरण 2.3.6

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.3.7

मान लीजिए $u_{2} = x + 2$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

मान लें $u_{2} = x + 2$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 2.3.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.8

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

चरण 2.3.9

सरल करें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

चरण 2.3.10

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C_{6}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C$