कैलकुलस उदाहरण

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = (x^{2} - x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int x^{2} - x d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.2.1.1.2

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$2$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.2.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K}$

चरण 3.4

$\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- x^{2}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$2 x^{3} - x^{2} \cdot 3$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.1

$2 x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.3.1.2

$- x^{2} \cdot 3$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.3.1.3

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 1 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.3.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.4

$2 K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 3.4.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$2 K$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3) + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.3

$- 3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.4

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.4.1

$x$ ले जाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.4.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.4.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.6.5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}{3}}$

चरण 3.4.7

$\sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}{3}}$ को $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.4.8

$\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.4.9

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.1

$\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.4.9.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.4.9.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.4.9.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.4.9.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.4.9.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.4.9.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.4.9.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.9.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.9.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.4.9.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

चरण 3.4.10

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

चरण 3.4.11

गुणनखंडों को $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + K)}}{3}$