कैलकुलस उदाहरण

$(x y + y^{2}) d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y^{2}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x + 2 y - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2 y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

चरण 2.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

चरण 2.6.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x + 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$x + 2 y = 1$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x + 2 y = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x + 2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x + 2 y - 1}{N}$

चरण 4.3

$x + 2 y - 1$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x + 2 y - 1$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x + 2 y - 1}{x + 2 y - 1}$

चरण 4.3.2

$x + 2 y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x + 2 y - 1}{x + 2 y - 1}$

चरण 4.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

चरण 6

$(x y + y^{2}) d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y + y^{2}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$(x y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$

चरण 6.3

$x + 2 y - 1$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y - 1) e^{x} d y = 0$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x} - 1 e^{x}) d y = 0$

चरण 6.5

$- 1 e^{x}$ को $- e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x} - e^{x}) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} - e^{x} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x} - e^{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y + \int - e^{x} d y$

चरण 8.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y + \int - e^{x} d y$

चरण 8.3

चूँकि $2 e^{x}$ बटे $y$ अचर है, $2 e^{x}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y + \int - e^{x} d y$

चरण 8.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - e^{x} d y$

चरण 8.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - e^{x} y + C$

चरण 8.6

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - e^{x} y + C$

चरण 8.7

सरल करें.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x e^{x} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.3.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.3.4

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.3.5

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.4

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{x} y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.4.2

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.5

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{x} y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} - y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.5.2

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} - y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.6

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} - y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.7.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.2.1

$y e^{x}$ में से $y e^{x}$ घटाएं.

$y x e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.7.2.2

$y x e^{x} + y^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$y x e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 11.7.4

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y^{2} e^{x}$

चरण 12.1.3

$x y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y^{2} e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$x y e^{x}$ में से $x y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

चरण 12.1.3.2

$y^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

चरण 12.1.3.3

$y^{2} e^{x}$ में से $y^{2} e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 0$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 0 d x$

चरण 13.3

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (x) = 0 + C$

चरण 13.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (x) = C$

चरण 14

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + C$

चरण 15

गुणनखंडों को $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} + C$