कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - y = 2 x$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 1 d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से गुणा करें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 x)$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 x)$

चरण 2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2 x e^{- x}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2 x e^{- x}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 x e^{- x} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- x} y = \int 2 x e^{- x} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} y = 2 \int x e^{- x} d x$

चरण 6.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

चरण 6.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

चरण 6.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

चरण 6.4.2

$\int e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

चरण 6.5

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 6.5.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 6.5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 6.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 6.6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

चरण 6.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

चरण 6.8

$2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ को $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

चरण 6.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

चरण 7

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

$- 2 x e^{- x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3.2

$- 2 e^{- x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3.3

$- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3.4

$C$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3.5

$- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.6.1

$- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ को $- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

चरण 7.3.3.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C}{e^{- x}}$