कैलकुलस उदाहरण

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = y^{3} - x$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.4

$3 y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

चरण 1.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$y^{3} - x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

चरण 1.8.2

$3 y^{3}$ और $y^{3}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{3} + x$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{3} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{3}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.6

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

चरण 2.3.7

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$y^{3} + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

चरण 2.3.7.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $4 y^{3} - x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $y^{3} + 2 x$ प्रतिस्थापित करें.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y^{3} + 2 x$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$4 y^{3} - x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

चरण 4.3

$y (y^{3} - x)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y (y^{3} - x)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.3

$- - x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.4

$y^{3}$ में से $4 y^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.5

$2 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.6

$- 3 y^{3} + 3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.6.1

$- 3 y^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.6.2

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.2.6.3

$3 (- y^{3}) + 3 (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.3

$- y^{3} + x$ और $y^{3} - x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$- y^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.3.2

$x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.3.3

$- (y^{3}) - 1 (- x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.3.4

$- (y^{3} - x)$ को $- 1 (y^{3} - x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.3.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

चरण 4.3.3.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

चरण 4.3.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3}{y}$

चरण 4.3.5

$y (y^{3} - x)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{3}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

चरण 5.2

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

चरण 5.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.4

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.5

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

चरण 5.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 3 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

चरण 5.6.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

चरण 5.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

चरण 6

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y (y^{3} - x)$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

चरण 6.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$y^{3}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

चरण 6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

चरण 6.3

$y^{3} - x$ को $\frac{1}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

चरण 6.4

$x (y^{3} + x)$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.6

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.7

$x y^{3} + x^{2}$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.8

$x y^{3} + x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$x y^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.8.2

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.8.3

$x (y^{3}) + x \cdot x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $\frac{1}{y^{2}}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{y^{2}}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

चरण 8.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

चरण 8.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

चरण 8.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

चरण 8.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

चरण 8.6

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ और $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ है.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ है.

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.4

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{3} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.5

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.6

चूंकि $y$ के संबंध में $- \frac{x^{2}}{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- \frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.7

$\frac{1}{y^{2}}$ को ${(y^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{- 1}$ और $g (y) = y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.8.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.8.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.10

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.11

$3 x y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.12

$3$ और $\frac{1}{y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.13

$x$ और $\frac{3}{y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.14

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.15

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.16

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.16.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.16.2

$3 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.17

घातांक को ${(y^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.17.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.17.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.18

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.19

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.20

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.3.21

$1$ में से $4$ घटाएं.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.3.1

$- 2$ और $\frac{1}{y^{3}}$ को मिलाएं.

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.3

$y^{3}$ और $\frac{2}{y^{3}}$ को मिलाएं.

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.4

$x$ और $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ को मिलाएं.

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.5

$2$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.6

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.7

$y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.7.2

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.8

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.9

$- 2$ और $\frac{1}{y^{3}}$ को मिलाएं.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.11

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.12

$\frac{x^{2}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.13

$\frac{x^{2}}{2}$ को $\frac{2}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.14

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.15

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.3.15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.15.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.3.16

$3 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 11.5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.3.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.3.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.4

$x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.4.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.4.2

$- x y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.5

$y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

चरण 12.1.5.2

$- x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

चरण 12.1.6

$\frac{d g}{d y} + x - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.6.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

चरण 12.1.6.2

$\frac{d g}{d y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 0$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 0 d y$

चरण 13.3

$y$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (y) = 0 + C$

चरण 13.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (y) = C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

चरण 15.2

$\frac{1}{y^{2}}$ को $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

चरण 15.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1.1

$y^{3} x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

चरण 15.3.1.2

$- \frac{x^{2}}{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

चरण 15.3.1.3

$x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

चरण 15.3.2

$y^{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

चरण 15.3.3

$y^{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

चरण 15.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

चरण 15.3.5

$2$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

चरण 15.4

$x$ और $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

चरण 15.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

चरण 15.6

जोड़ना.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

चरण 15.7

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$