कैलकुलस उदाहरण

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

चरण 1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

चरण 2.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 3$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 = 3$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 - 1}{M}$

चरण 4.3

$y - 2$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y - 2$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

चरण 4.3.2

$y - 2$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{y - 2}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

चरण 5.2

मान लीजिए $u = y - 2$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

मान लें $u = y - 2$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$y - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

चरण 5.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 5.2.1.3

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 5.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

चरण 5.4

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

चरण 5.5

$u$ की सभी घटनाओं को $y - 2$ से बदलें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

चरण 5.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y - 2 |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

चरण 5.6.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

चरण 5.6.3

${| y - 2 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

चरण 5.6.4

${(y - 2)}^{2}$ को $(y - 2) (y - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

चरण 5.6.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(y - 2) (y - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

चरण 5.6.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

चरण 5.6.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

चरण 5.6.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.6.1.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

चरण 5.6.6.1.2

$- 2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

चरण 5.6.6.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

चरण 5.6.6.2

$- 2 y$ में से $2 y$ घटाएं.

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

चरण 6

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y^{2} - 4 y + 4$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y - 2$ को $y^{2} - 4 y + 4$ से गुणा करें.

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ का प्रसार करें.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.3

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$y$ ले जाएं.

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.3.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.4

$4$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.5

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3.6

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.4

$- 4 y^{2}$ में से $2 y^{2}$ घटाएं.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.5

$4 y$ और $8 y$ जोड़ें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

चरण 6.6

$3 x - y$ को $y^{2} - 4 y + 4$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

चरण 6.7

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ का प्रसार करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.2

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.3

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.4

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.4.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.4.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.6

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.6.1

$y$ ले जाएं.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.6.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.7

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.8.8

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ है.

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.4

चूंकि $- 6$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 6 y^{2}$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.6

चूंकि $12$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $12 y$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.7

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.8

चूंकि $y$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.9

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.10

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.3.11

$3 y^{2} - 12 y + 12$ और $0$ जोड़ें.

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.5.2.2

$12$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 11.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $12 x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

चरण 12.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $12 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

चरण 12.1.4

$3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.4.1

गुणनखंडों को $3 x y^{2}$ और $- 3 y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

चरण 12.1.4.2

$3 y^{2} x$ में से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

चरण 12.1.4.3

$- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

चरण 12.1.4.4

$- 12 x y$ और $12 x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

चरण 12.1.4.5

$12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

चरण 12.1.4.6

$12 x$ में से $12 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

चरण 12.1.4.7

$- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

चरण 13.4

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

चरण 13.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

चरण 13.6

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

चरण 13.7

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

चरण 13.8

चूँकि $- 4$ बटे $y$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

चरण 13.9

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 13.10

सरल करें.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

चरण 13.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.11.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 13.11.2

$- 4$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

चरण 13.11.3

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.11.3.1

$- 4 y^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

चरण 13.11.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.11.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

चरण 13.11.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

चरण 13.11.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

चरण 13.11.3.2.4

$- 2 y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

चरण 13.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

चरण 13.12.2

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

चरण 14

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

चरण 15.2

$y^{4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

चरण 15.3

$\frac{4}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$