कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{3}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

चरण 1.2

$\frac{3}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 1.2.3

सरल करें.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{3 \ln (x)}$

चरण 1.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{3})}$

चरण 1.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{3}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{3}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.3

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

चरण 6.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 6.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

चरण 6.4.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

चरण 6.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

चरण 6.4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

चरण 6.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

चरण 6.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

चरण 6.4.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

चरण 6.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 6.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6.6.2.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

चरण 6.6.2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

चरण 6.6.3

$x^{2}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

चरण 6.6.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

चरण 7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

चरण 7.1.2

कोष्ठक हटा दें.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

चरण 7.2

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

$x^{2}$ और $x^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1.1

$\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1.2.1

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (x)$ को सरल करें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.4

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.4.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.4.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.4.3

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.5

$\frac{- 1}{4}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

चरण 7.2.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$