कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

चरण 2

$y'$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 2.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{3 x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.6

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.2.7

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 e^{4 x}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ है.

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

चरण 2.3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 2.3.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 2.3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 2.3.3.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.3.3.4

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

चरण 2.3.3.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

चरण 2.3.3.6

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

चरण 2.3.3.7

$4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

चरण 2.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

चरण 3

$y''$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्युत्पन्न सेट करें.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ है.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 e^{3 x}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ है.

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.2.2

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.4

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.6

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.3.7

$3$ को $6$ से गुणा करें.

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $- 20$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 20 e^{4 x}$ का व्युत्पन्न $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ है.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

चरण 3.4.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 3.4.2.2

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 3.4.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 3.4.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.4.4

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

चरण 3.4.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

चरण 3.4.6

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

चरण 3.4.7

$4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

चरण 4

दिए गए डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

चरण 5.1.2

$6$ को $- 7$ से गुणा करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

चरण 5.1.3

$- 20$ को $- 7$ से गुणा करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

चरण 5.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

चरण 5.1.5

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

चरण 5.1.6

$- 5$ को $12$ से गुणा करें.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

चरण 5.2

$18 e^{3 x}$ में से $42 e^{3 x}$ घटाएं.

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

चरण 5.3

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 24 e^{3 x}$ और $24 e^{3 x}$ जोड़ें.

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

चरण 5.3.2

$0$ में से $80 e^{4 x}$ घटाएं.

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

चरण 5.4

$- 80 e^{4 x}$ और $140 e^{4 x}$ जोड़ें.

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

चरण 5.5

$60 e^{4 x}$ में से $60 e^{4 x}$ घटाएं.

$0 = 0$

चरण 6

दिया गया हल दिए गए डिफरेन्शल इक्वेश़न को संतुष्ट करता है.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ $y'' - 7 y' + 12 y = 0$ का हल है