कैलकुलस उदाहरण

$3 y (x^{2} - 1) d x + (x^{3} + 8 y - 3 x) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y (x^{2} - 1)]$

चरण 1.2

चूंकि $3 (x^{2} - 1)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y (x^{2} - 1)$ का व्युत्पन्न $3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \cdot 1$

चरण 1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1)$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

चरण 1.5.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} - 3$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{3} + 8 y - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 y - 3 x]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 8 y - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $8 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1$

चरण 2.3.3

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3$

चरण 2.4

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} - 3$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x^{2} - 3$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 x^{2} - 3$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 y (x^{2} - 1) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $3 y$ बटे $x$ अचर है, $3 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} - 1 d x$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = 3 y (\int x^{2} d x + \int - 1 d x)$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x)$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C)$

चरण 5.5

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C - x + C)$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.2

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $3 (\frac{x^{3}}{3} - x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)$ का व्युत्पन्न $3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.3.2

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.2.1

$3$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.5.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.5.2.2.2

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.5.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{3} - 3 x + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 8.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$

चरण 9.1.3

$x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 0 + 3 x$

चरण 9.1.3.2

$8 y - 3 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 3 x$

चरण 9.1.3.3

$- 3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 8 y + 0$

चरण 9.1.3.4

$8 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 8 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $8 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 8 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 8 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 8 y d y$

चरण 10.3

चूँकि $8$ बटे $y$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 8 \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = 8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{8}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{4}{1} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (y) = 4 y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + 4 y^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + 4 y^{2} + C$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

चरण 12.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$3 y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = 3 (y) \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

चरण 12.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

चरण 12.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

चरण 12.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 \cdot - 1 y x + 4 y^{2} + C$

चरण 12.5

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{3} - 3 y x + 4 y^{2} + C$