कैलकुलस उदाहरण

$2 y (x + 1) d y = x d x$

चरण 1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 2.2

$2$ और $\frac{1}{x + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 2.3

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$y (x + 1)$ में से $x + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 2.4

$\frac{1}{x + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ को $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.2.3.2.3

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 3.3.1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 3.3.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

चरण 3.3.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

चरण 3.3.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

चरण 3.3.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 3.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 3.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 3.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 3.3.5

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 3.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.3.5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.3.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.3.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 3.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

चरण 3.3.7

सरल करें.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

चरण 3.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

चरण 4.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

चरण 4.2.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

चरण 4.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$