कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = y (1 - e^{2 x})$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - e^{2 x}))$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - e^{2 x}))$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - e^{2 x}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (1 - e^{2 x}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - e^{2 x} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - e^{2 x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - e^{2 x} d x$

चरण 2.3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - e^{2 x} d x$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int e^{2 x} d x$

चरण 2.3.4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.3.4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.3.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 2.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 2.3.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{3})$

चरण 2.3.8

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} e^{u} + C_{4}$

चरण 2.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{4}$

चरण 2.3.10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{- \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + x + C}$

चरण 3.3.2

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$| y | = e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$ को $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$