कैलकुलस उदाहरण

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y + 2) d x$ घटाएं.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3

$y + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3.2

$(x - 2) (y + 2)$ में से $y + 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

चरण 3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u_{1} = y + 2$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u_{1} = y + 2$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$y + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 4.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 4.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 4.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y + 2$ से बदलें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = x - 2$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = x - 2$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 4.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 4.3.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.3.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.4

सरल करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.5

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

चरण 5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

चरण 5.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

चरण 5.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(y + 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

चरण 5.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

चरण 5.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

चरण 5.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$- 2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

चरण 5.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

चरण 5.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

चरण 5.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

चरण 5.8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

समीकरण को $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

चरण 5.8.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

चरण 5.8.3

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x$ घटाएं.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

चरण 5.8.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

चरण 5.8.4

$y x - 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.1

$y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

चरण 5.8.4.2

$- 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

चरण 5.8.4.3

$y (x) + y \cdot - 2$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

चरण 5.8.5

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ के प्रत्येक पद को $x - 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.5.1

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ के प्रत्येक पद को $x - 2$ से विभाजित करें.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

चरण 5.8.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.5.2.1

$x - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

चरण 5.8.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

चरण 5.8.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.5.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

चरण 5.8.5.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

चरण 5.8.5.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$