कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3} d x$ घटाएं.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y + 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

चरण 2.3.3

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ को $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ और ${(y + 1)}^{3}$ को मिलाएं.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$x^{4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

चरण 3.2.2.1.3

$3 (- \frac{x^{4}}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

चरण 3.2.2.1.3.2

$- 3$ और $\frac{x^{4}}{4}$ को मिलाएं.

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

चरण 3.2.2.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

चरण 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

फिर से लिखें.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

चरण 3.4.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

चरण 3.4.3

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$- \frac{3 x^{4}}{4}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

चरण 3.4.3.2

$3 K$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

चरण 3.4.3.3

$3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

चरण 3.4.4

$K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

चरण 3.4.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$K$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

चरण 3.4.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

चरण 3.4.6

$4$ को $K$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

चरण 3.4.7

$3$ और $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ को मिलाएं.

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

चरण 3.4.8

$\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ को $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

चरण 3.4.9

$\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ से गुणा करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

चरण 3.4.10

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.10.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ से गुणा करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

चरण 3.4.10.2

$\sqrt[3]{4}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

चरण 3.4.10.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

चरण 3.4.10.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

चरण 3.4.10.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ को $4$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.10.5.1

$\sqrt[3]{4}$ को $4^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

चरण 3.4.10.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

चरण 3.4.10.5.3

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

चरण 3.4.10.5.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.10.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

चरण 3.4.10.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

चरण 3.4.10.5.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

चरण 3.4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.11.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ को $\sqrt[3]{4^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

चरण 3.4.11.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

चरण 3.4.11.3

$16$ को $2^{3} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.11.3.1

$16$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

चरण 3.4.11.3.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

चरण 3.4.11.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

चरण 3.4.11.5

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.11.5.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

चरण 3.4.11.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

चरण 3.4.12

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.12.1

$2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

चरण 3.4.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.12.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.4.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.4.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

चरण 3.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

चरण 3.6

$\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.6.2

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

चरण 3.6.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

चरण 3.6.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$