कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करने के लिए, मान लें कि $v = y^{1 - n}$ जहां $n$ , $y^{2}$ का घातांक है.

$v = y^{- 1}$

चरण 2

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

$y = v^{- 1}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = v^{- 1}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

चरण 4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

चरण 4.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1$ और $g (x) = v$ है.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

$v$ को $0$ से गुणा करें.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.2

$0$ में से $\frac{d}{d x} [v]$ घटाएं.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

चरण 5

मूल समीकरण $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ में $- \frac{v'}{v^{2}}$ को $\frac{d y}{d x}$ से और $v^{- 1}$ को $y$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d v}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 6.1.1.1.2

$x$ और $\frac{1}{v}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 6.1.1.2

$x {(v^{- 1})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

घातांक को ${(v^{- 1})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

चरण 6.1.1.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

चरण 6.1.1.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

चरण 6.1.1.2.3

$x$ और $\frac{1}{v^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

चरण 6.1.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{x}{v}$ घटाएं.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

चरण 6.1.1.4

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

चरण 6.1.1.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

चरण 6.1.1.4.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

चरण 6.1.1.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

चरण 6.1.1.4.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ को $- \frac{x}{v^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

चरण 6.1.1.4.3.1.3

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

चरण 6.1.1.4.3.1.4

$\frac{x}{v}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

चरण 6.1.1.5

दोनों पक्षों को $v^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

चरण 6.1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.1.1

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

चरण 6.1.1.6.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

चरण 6.1.1.6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.2.1

$(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

चरण 6.1.1.6.2.1.2

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.2.1.2.1

$- \frac{x}{v^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

चरण 6.1.1.6.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

चरण 6.1.1.6.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

चरण 6.1.1.6.2.1.3

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.2.1.3.1

$v^{2}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

चरण 6.1.1.6.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

चरण 6.1.1.6.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

चरण 6.1.1.6.2.1.4

विनिमय के साथ सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.6.2.1.4.1

$x$ और $v$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

चरण 6.1.1.6.2.1.4.2

$- x$ और $v x$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

चरण 6.1.2

$v x - x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$v x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

चरण 6.1.2.2

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

चरण 6.1.2.3

$x v + x \cdot - 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

चरण 6.1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{v - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

चरण 6.1.4

$v - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

$x (v - 1)$ में से $v - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

चरण 6.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

चरण 6.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

चरण 6.1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

चरण 6.2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

मान लीजिए $u = v - 1$ . फिर $d u = d v$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

मान लें $u = v - 1$ . $\frac{d u}{d v}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.1

$v - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

चरण 6.2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $v - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

चरण 6.2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

चरण 6.2.2.1.1.4

चूंकि $v$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 6.2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

चरण 6.2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 6.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $v - 1$ से बदलें.

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 6.2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 6.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6.3

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$v$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 6.3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

चरण 6.3.3

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

समीकरण को $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 6.3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

चरण 6.3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

चरण 6.3.3.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

चरण 6.4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ को $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

चरण 6.4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

चरण 6.4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

चरण 7

$y^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$