कैलकुलस उदाहरण

$(3 x^{2} y + e^{y}) d x + (x^{3} + x e^{y} - 2 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 x^{2} y + e^{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + e^{y}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 x^{2} y + e^{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x^{2} y$ का व्युत्पन्न $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

चरण 1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

चरण 1.4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + e^{y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{3} + x e^{y} - 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + x e^{y} - 2 y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + x e^{y} - 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $e^{y}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x e^{y}$ का व्युत्पन्न $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.3

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} + 0$

चरण 2.4.2

$3 x^{2} + e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x^{2} + e^{y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 x^{2} + e^{y}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x^{2} + e^{y} = 3 x^{2} + e^{y}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 x^{2} + e^{y} = 3 x^{2} + e^{y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + e^{y} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 x^{2} y + e^{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int e^{y} d x$

चरण 5.2

चूँकि $3 y$ बटे $x$ अचर है, $3 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int e^{y} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int e^{y} d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + e^{y} x + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + e^{y} x + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + e^{y} x + g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x^{3} + e^{y} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x^{3}$ का व्युत्पन्न $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.3.2

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.3.3

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{y} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ है.

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.4.2

$x^{3} + x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{3} + x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + e^{y} x = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 8.6.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} + x^{3} + e^{y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x e^{y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y - x^{3}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y - x^{3} - x e^{y}$

चरण 9.1.3

$x^{3} + x e^{y} - 2 y - x^{3} - x e^{y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - 2 y + 0 - x e^{y}$

चरण 9.1.3.2

$x e^{y} - 2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - 2 y - x e^{y}$

चरण 9.1.3.3

$x e^{y}$ में से $x e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

चरण 9.1.3.4

$- 2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- 2 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - 2 y d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 2$ बटे $y$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - 2 \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (y) = - y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x - y^{2} + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x - y^{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y x^{3} + x e^{y} - y^{2} + C$