कैलकुलस उदाहरण

$(3 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + x y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 x y + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + y^{2}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 x y + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x y$ का व्युत्पन्न $3 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} + x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y \cdot 1$

चरण 2.3.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x + 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x + y$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x + 2 y = 2 x + y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$3 x + 2 y = 2 x + y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3 x + 2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$2 x + y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{N}$

चरण 4.3

$x^{2} + x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{2} + x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{x^{2} + x y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x) - y}{x^{2} + x y}$

चरण 4.3.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x + 2 y - 2 x - y}{x^{2} + x y}$

चरण 4.3.2.3

$3 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{x + 2 y - y}{x^{2} + x y}$

चरण 4.3.2.4

$2 y$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{x + y}{x^{2} + x y}$

चरण 4.3.3

$x^{2} + x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x + y}{x \cdot x + x y}$

चरण 4.3.3.2

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x + y}{x \cdot x + x (y)}$

चरण 4.3.3.3

$x \cdot x + x (y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

चरण 4.3.4

$x + y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | x | + C$

चरण 6

$(3 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + x y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3 x y + y^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x y + y^{2}) x d x + (x^{2} + x y) d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(3 x y x + y^{2} x) d x + (x^{2} + x y) d y = 0$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x$ ले जाएं.

$(3 (x \cdot x) y + y^{2} x) d x + (x^{2} + x y) d y = 0$

चरण 6.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} + x y) d y = 0$

चरण 6.4

$x^{2} + x y$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} + x y) x d y = 0$

चरण 6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} x + x y x) d y = 0$

चरण 6.6

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} + x y x) d y = 0$

चरण 6.6.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} + x y x) d y = 0$

चरण 6.6.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{3} + x y x) d y = 0$

चरण 6.7

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$x$ ले जाएं.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{3} + x \cdot x y) d y = 0$

चरण 6.7.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{3} + x^{2} y) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} x d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2} x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} x d x$

चरण 8.2

चूँकि $3 y$ बटे $x$ अचर है, $3 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} x d x$

चरण 8.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} x d x$

चरण 8.4

चूँकि $y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} \int x d x$

चरण 8.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 8.6

सरल करें.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 8.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 8.7.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 8.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = 1 y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 8.7.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 8.7.4

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 8.7.5

$y^{2}$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

चरण 8.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x^{3}$ का व्युत्पन्न $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.3.2

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.3.3

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.3

चूंकि $\frac{x^{2}}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.4

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.5

$2$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.4.7.2

$x^{2} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + x^{2} y$

चरण 11.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x^{2} y = x^{3} + x^{2} y$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{3} + x^{2} y - x^{3}$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + x^{2} y - x^{3} - x^{2} y$

चरण 12.1.3

$x^{3} + x^{2} y - x^{3} - x^{2} y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 0 - x^{2} y$

चरण 12.1.3.2

$x^{2} y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y - x^{2} y$

चरण 12.1.3.3

$x^{2} y$ में से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 0 d y$

चरण 13.3

$y$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (y) = 0 + C$

चरण 13.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (y) = C$

चरण 14

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

चरण 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$