कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

चरण 1

मान लें $v = \frac{d y}{d x}$ . फिर $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . आश्रित चर $v$ और स्वतंत्र चर $x$ के साथ डिफरेन्शल इक्वेश़न प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d x}$ के लिए $v$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के लिए $\frac{d v}{d x}$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C_{1}}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{x}$ से गुणा करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

चरण 3.2

गुणनखंडों को $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{x}$ और $\cos (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (x)$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

चरण 7.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

चरण 7.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

चरण 7.4.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

चरण 7.4.3

$e^{x}$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

चरण 7.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (x)$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

चरण 7.6

$\int e^{x} \cos (x) d x$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

चरण 7.7

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ को $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

चरण 8

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

$\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1.1

$\cos (x) e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.1.1.2

$\sin (x) e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.1.1.3

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.2

$\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ में से $\frac{e^{x}}{2}$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.3

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.5

$\frac{1}{2}$ और $\cos (x)$ को मिलाएं.

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 8.3.1.6

$\frac{1}{2}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 9

$v$ की सभी घटनाओं को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

चरण 10

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

चरण 11

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.3.2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का इंटीग्रल $\sin (x)$ है.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.3.5

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

चरण 11.3.6

चूँकि $C_{2}$ बटे $x$ अचर है, $C_{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

चरण 11.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.1

$e^{x}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

चरण 11.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.2.1

घातांक को ${(e^{x})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

चरण 11.3.7.2.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

चरण 11.3.7.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

चरण 11.3.7.2.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

चरण 11.3.8

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 11.3.8.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.3.8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 11.3.8.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 11.3.8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

चरण 11.3.9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

चरण 11.3.10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

चरण 11.3.11

सरल करें.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

चरण 11.3.12

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

चरण 11.3.13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

चरण 11.3.14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

चरण 11.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$