कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 2.3.5

मान लीजिए $u = 16 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

मान लें $u = 16 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$16 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

चरण 2.3.5.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $16 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.5.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.3.5.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.3.5.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 2.3.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.3.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.3.6.3

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 2.3.6.4

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

चरण 2.3.8

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 2.3.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.1.1

$\frac{1}{2}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.10.1.2

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.1.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.10.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.1.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.10.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.10.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.10.1.2.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.10.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.10.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.10.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.10.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

चरण 2.3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.1

सरल करें.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

चरण 2.3.13

$u$ की सभी घटनाओं को $16 - x^{2}$ से बदलें.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$