कैलकुलस उदाहरण

$(\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}) d x + (\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \cos (y)$ और $g (y) = 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \cdot 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- 3 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3 x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} (2 y)$

चरण 1.4.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 6 x^{2} y$

चरण 1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $\cos (2 y)$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\cos (2 y)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 2 \sin (2 y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x \sin (2 y)$ का व्युत्पन्न $- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

चरण 2.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{3} y$ का व्युत्पन्न $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y (3 x^{2})$

चरण 2.4.3

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$0$ में से $2 \sin (2 y)$ घटाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ प्रतिस्थापित करें.

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int \cos (2 y) d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

चरण 5.3

चूँकि $- 3 y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $- 3 y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - 3 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} + C$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 3}{3} y^{2} x^{3} + C$

चरण 5.6.2

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{2} x^{3} + C$

चरण 5.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{2} x^{3} + C$

चरण 5.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} + C$

चरण 5.6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 1}{1} y^{2} x^{3} + C$

चरण 5.6.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\cos (2 y) x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ है.

$x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$x (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.3

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.4

$x (- \sin (2 y) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- \sin (2 y) \cdot 2) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- 2 \sin (2 y)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $- x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{2} x^{3}$ का व्युत्पन्न $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.4.2

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.4.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x \sin (2 y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y)$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x^{3} y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$

चरण 9.1.3

$\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$- 2 x \sin (2 y)$ और $2 x \sin (2 y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

चरण 9.1.3.2

$\cos (2 y) - 2 x^{3} y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

चरण 9.1.3.3

$- 2 x^{3} y$ और $2 x^{3} y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) + 0$

चरण 9.1.3.4

$\cos (2 y)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $\cos (2 y)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (2 y) d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \cos (2 y) d y$

चरण 10.3

मान लीजिए $u = 2 y$ .फिर $d u = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

मान लें $u = 2 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1.1

$2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 10.3.1.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 10.3.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 10.3.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 10.4

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

चरण 10.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

चरण 10.6

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

चरण 10.7

सरल करें.

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

चरण 10.8

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

चरण 11

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

चरण 12

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 y)$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x \cos (2 y) - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$