कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d p}{d t} + 2 t p = p + 4 t - 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 t p$ घटाएं.

$\frac{d p}{d t} = p + 4 t - 2 - 2 t p$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d p}{d t} = - 2 p t + p + 4 t - 2$

चरण 1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{d p}{d t} = (- 2 p t + p) + 4 t - 2$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{d p}{d t} = p (- 2 t + 1) - 2 (- 2 t + 1)$

चरण 1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- 2 t + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{d p}{d t} = (- 2 t + 1) (p - 2)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{p - 2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((- 2 t + 1) (p - 2))$

चरण 1.4

$p - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$(- 2 t + 1) (p - 2)$ में से $p - 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = - 2 t + 1$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{p - 2} d p = (- 2 t + 1) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{p - 2} d p = \int - 2 t + 1 d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = p - 2$ . फिर $d u = d p$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = p - 2$ . $\frac{d u}{d p}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$p - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d p} [p - 2]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $p$ के संबंध में $p - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ $n p^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d p} [- 2]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $p$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $p$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 2 t + 1 d t$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $p - 2$ से बदलें.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t d t + \int d t$

चरण 2.3.2

चूँकि $- 2$ बटे $t$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 \int t d t + \int d t$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - t^{2} + t + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$

चरण 3

$p$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$p$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| p - 2 |)} = e^{- t^{2} + t + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- t^{2} + t + C} = | p - 2 |$

चरण 3.3

$p$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$p - 2 = \pm e^{- t^{2} + t + C}$

चरण 3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$p = \pm e^{- t^{2} + t + C} + 2$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- t^{2} + t + C}$ को $e^{- t^{2} + t} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \pm e^{- t^{2} + t} e^{C} + 2$

चरण 4.2

$e^{- t^{2} + t}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$p = \pm e^{C} e^{- t^{2} + t} + 2$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$p = C e^{- t^{2} + t} + 2$