कैलकुलस उदाहरण

$2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 (2 x y + 4 y - 3)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x y + 4 y - 3)]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 (2 x y + 4 y - 3)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y + 4 y - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.4

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.7

चूंकि $4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.8

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.9

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 1.10

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + 0)$

चरण 1.11

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4)$

चरण 1.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x) + 2 \cdot 4$

चरण 1.12.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 \cdot 4$

चरण 1.12.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 8$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = {(x + 2)}^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]$

चरण 2.2

${(x + 2)}^{2}$ को $(x + 2) (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2)]$

चरण 2.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2)]$

चरण 2.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)]$

चरण 2.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

चरण 2.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

चरण 2.4.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2]$

चरण 2.4.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4]$

चरण 2.4.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.7

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.9

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + 0$

चरण 2.11

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $4 x + 8$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x + 4$ प्रतिस्थापित करें.

$4 x + 8 = 2 x + 4$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$4 x + 8 = 2 x + 4$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4 x + 8$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 x + 8 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$2 x + 4$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{N}$

चरण 4.3

${(x + 2)}^{2}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

${(x + 2)}^{2}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x + 8 - (2 x) - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.4

$4 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{2 x + 8 - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.5

$8$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{2 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.6

$2 x + 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.6.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.6.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.2.6.3

$2 x + 2 \cdot 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.3

$x + 2$ और ${(x + 2)}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$2 (x + 2)$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

${(x + 2)}^{2}$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

चरण 4.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

चरण 4.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{x + 2}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x + 2} d x}$

चरण 5.2

मान लीजिए $u = x + 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

मान लें $u = x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 5.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.2.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

चरण 5.4

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

चरण 5.5

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x + 2 |)} + C$

चरण 5.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x + 2 |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 2 |}^{2})} + C$

चरण 5.6.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| x + 2 |}^{2} + C$

चरण 5.6.3

${| x + 2 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = {(x + 2)}^{2} + C$

चरण 5.6.4

${(x + 2)}^{2}$ को $(x + 2) (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$μ (x, y) = (x + 2) (x + 2) + C$

चरण 5.6.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$μ (x, y) = x (x + 2) + 2 (x + 2) + C$

चरण 5.6.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + C$

चरण 5.6.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

चरण 5.6.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.6.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

चरण 5.6.6.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$μ (x, y) = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

चरण 5.6.6.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + C$

चरण 5.6.6.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$μ (x, y) = x^{2} + 4 x + 4 + C$

चरण 6

$2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $x^{2} + 4 x + 4$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 (2 x y + 4 y - 3)$ को $x^{2} + 4 x + 4$ से गुणा करें.

$2 (2 x y + 4 y - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 (2 x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(4 (x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.3.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$(4 (x y) + 8 y + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.3.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$(4 (x y) + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.4

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(4 x y + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4)$ का प्रसार करें.

$(4 x y x^{2} + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$(4 (x^{2} x) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.1.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(4 x^{2 + 1} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.1.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$x$ ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 4 (x \cdot x) y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 4 x^{2} y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.4

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 \cdot 4 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.6

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.7

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.8

$4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.5.9

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.6

$16 x^{2} y$ और $8 y x^{2}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$y$ ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 8 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.6.2

$16 x^{2} y$ और $8 x^{2} y$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.7

$16 x y$ और $32 y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$y$ ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.7.2

$16 x y$ और $32 x y$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

चरण 6.8

${(x + 2)}^{2}$ को $x^{2} + 4 x + 4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.9

${(x + 2)}^{2}$ को $(x + 2) (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x + 2) (x + 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.10

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.10.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.11

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.11.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.11.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.11.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

चरण 6.12

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)$ का प्रसार करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.1.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.3.1

$x$ ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.4

$4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.5.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.5.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.7

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.7.1

$x$ ले जाएं.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.7.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.8

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.9

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.10

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) d y = 0$

चरण 6.13.11

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

चरण 6.14

$4 x^{3}$ और $4 x^{3}$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

चरण 6.15

$4 x^{2}$ और $16 x^{2}$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

चरण 6.16

$20 x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 16 x + 16 x + 16) d y = 0$

चरण 6.17

$16 x$ और $16 x$ जोड़ें.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$y (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$y (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.4

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$y (4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.6

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x^{2}$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.7

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.8

चूंकि $32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $32 x$ का व्युत्पन्न $32 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.9

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.11

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.12

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.13

$32$ को $1$ से गुणा करें.

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.3.14

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32$ और $0$ जोड़ें.

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y (4 x^{3}) + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1

$4$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \cdot y x^{3} + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.5.2.2

$24$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 y x^{3} + 24 \cdot y x^{2} + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.5.2.3

$48$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 \cdot y x + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.5.2.4

$32$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 y x + 32 y + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 11.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x^{3} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $24 x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y$

चरण 12.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $48 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y$

चरण 12.1.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $32 y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

चरण 12.1.5

$4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.5.1

$4 x^{3} y$ में से $4 x^{3} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

चरण 12.1.5.2

$24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

चरण 12.1.5.3

$24 x^{2} y$ में से $24 x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 48 x y - 32 y$

चरण 12.1.5.4

$48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 48 x y - 32 y$

चरण 12.1.5.5

$48 x y$ में से $48 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 32 y$

चरण 12.1.5.6

$32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 32 y$

चरण 12.1.5.7

$32 y$ में से $32 y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0$

चरण 12.1.5.8

$- 6 x^{2} - 24 x - 24$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int - 6 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

चरण 13.4

चूँकि $- 6$ बटे $x$ अचर है, $- 6$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - 6 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

चरण 13.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

चरण 13.6

चूँकि $- 24$ बटे $x$ अचर है, $- 24$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 \int x d x + \int - 24 d x$

चरण 13.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

चरण 13.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

चरण 13.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

चरण 13.9.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

चरण 13.10

सरल करें.

$g (x) = - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

चरण 14

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

चरण 15

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x^{4} y + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y + 32 x y + 16 y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$