कैलकुलस उदाहरण

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y^{3} d x$ घटाएं.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$e^{- x} y^{3}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

चरण 3.1.2

$(y + 1) e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

चरण 3.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

चरण 3.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y^{3}}$ को $y + 1$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

चरण 3.4

$y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

चरण 3.4.2

$e^{- x} y^{3}$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

चरण 3.4.3

$x y^{3}$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

चरण 3.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

चरण 3.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

चरण 3.5

$\frac{- 1}{e^{- x}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$y^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.1.2

घातांक को ${(y^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.1.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.2

$(y + 1) y^{- 3}$ गुणा करें.

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{- 3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$y$ को $y^{- 3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.3.1.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.3.2

$y^{- 3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.6

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.7

सरल करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.2.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

चरण 4.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$e^{- x}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

चरण 4.3.2.2

घातांक को ${(e^{- x})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

चरण 4.3.2.2.2

$- x \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

चरण 4.3.2.2.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

चरण 4.3.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

चरण 4.3.4

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

चरण 4.3.5

सरल करें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$