कैलकुलस उदाहरण

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ घटाएं.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $\sin (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

चरण 2.4.3

$2$ को $\sin (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$0$ में से $3 y^{2}$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

चरण 3.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

चरण 3.2.3

चूंकि $3 y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

चरण 3.2.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

चरण 3.2.6

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

चरण 3.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

चरण 3.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

चरण 3.5.2.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ प्रतिस्थापित करें.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

चरण 4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 5

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

चरण 6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

चरण 6.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

चरण 6.3

चूँकि $3 x$ बटे $y$ अचर है, $3 x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

चरण 6.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

चरण 6.5

चूँकि $2 \cos (x)$ बटे $y$ अचर है, $2 \cos (x)$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

चरण 6.6

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

चरण 6.7

सरल करें.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

चरण 7

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ है.

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3.3

चूंकि $y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y^{3}$ का व्युत्पन्न $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3.4

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3.5

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\cos (x) y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3.6

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.3.7

$y^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.5.2.2

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 9.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

चरण 10

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y^{3}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

चरण 10.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} \sin (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

चरण 10.1.3

$x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.3.1

$- y^{3}$ और $y^{3}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

चरण 10.1.3.2

$x + y^{2} \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

चरण 10.1.3.3

$y^{2} \sin (x)$ में से $y^{2} \sin (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

चरण 10.1.3.4

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x$

चरण 11

$g (x)$ को खोजने के लिए $x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{d g}{d x} = x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

चरण 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x d x$

चरण 11.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 13

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 13.1.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 13.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$