कैलकुलस उदाहरण

$(y^{2} - 2 x y + 6 x) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6 x]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} - 2 x y + 6 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2 x y$ का व्युत्पन्न $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

चरण 1.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6 x]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $6 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 y - 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.5

चूंकि $- 2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x y$ का व्युत्पन्न $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.7

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

चरण 2.9

$2 x - 2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

चरण 2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

चरण 2.10.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

चरण 2.10.2.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 x + 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 2 x + 2 y$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

चरण 5.4

चूँकि $- 2 x$ बटे $y$ अचर है, $- 2 x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

चरण 5.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

चरण 5.7

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

चरण 5.8

सरल करें.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ है.

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.3

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.4

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.5

चूंकि $- y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y^{2}$ का व्युत्पन्न $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.6

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.8

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.3.10

$2 y x - y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.5.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.5.2.3

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 8.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$

चरण 9.1.3

$y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$y^{2}$ में से $y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 0 + 2 x y$

चरण 9.1.3.2

$- 2 x y + 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 2 x y$

चरण 9.1.3.3

$- 2 x y$ और $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

चरण 9.1.3.4

$6 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $6 x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 6 x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 6 x d x$

चरण 10.3

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 6 \int x d x$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$6$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (x) = 3 x^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 3 x^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

चरण 12.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- (- x y^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

चरण 12.2.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 3 x^{2} + C$

चरण 12.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 3 x^{2} + C$