कैलकुलस उदाहरण

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$2 y d y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 2 y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ को $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.2.3.2.3

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 1 + \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 1 + \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$1 + \sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

चरण 2.3.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.1.1.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$0 + \cos (x)$

चरण 2.3.1.1.4

$0$ और $\cos (x)$ जोड़ें.

$\cos (x)$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \sin (x)$ से बदलें.

$y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y^{2} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

चरण 3.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

चरण 3.2.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

चरण 3.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$