कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{x}$ से गुणा करें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

चरण 2.2

गुणनखंडों को $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{x}$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

चरण 6.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (x)$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

चरण 6.3

$e^{x}$ और $\cos (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

चरण 6.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (x)$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

चरण 6.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

चरण 6.6

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

चरण 6.6.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

चरण 6.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

चरण 6.7

$\int e^{x} \sin (x) d x$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

चरण 6.8

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ को $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

चरण 7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

चरण 7.1.2

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$\sin (x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

चरण 7.1.2.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

चरण 7.1.3

$\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$\frac{1}{2}$ और $\cos (x)$ को मिलाएं.

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

चरण 7.1.3.2

$e^{x}$ और $\frac{\cos (x)}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

चरण 7.1.4

गुणनखंडों को $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

चरण 7.2

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.2

जोड़ना.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.3

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.6

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.6.1

$- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.6.2

$- e^{x} \cos (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$