कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

चरण 1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ को ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + \tan^{2} (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + \tan^{2} (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ और ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.6.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

चरण 4.6.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \tan^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ है.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

चरण 4.6.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

चरण 4.6.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

चरण 4.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\tan (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

चरण 4.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

चरण 4.7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\tan (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

चरण 4.8

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$2$ और $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

चरण 4.8.2

$\tan (x)$ और $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 4.8.3

$2$ को $\tan (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 4.8.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 4.8.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 4.9

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

चरण 4.10

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ और $\sec^{2} (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11.2

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.4.1

घातांक को ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.4.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 4.11.4.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.4.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 4.11.4.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

चरण 4.11.4.2

सरल करें.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

चरण 4.11.5

$\sec^{2} (x)$ और $\sec (x)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.5.1

$\sec^{2} (x) \tan (x)$ में से $\sec (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

चरण 4.11.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.5.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

चरण 4.11.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

चरण 4.11.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

चरण 4.11.5.2.4

$\sec (x) \tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sec (x) \tan (x)$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$