कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} - y^{2} = 16$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक पद को $16$ से विभाजित करके दाईं भुजा को एक के बराबर करें.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

चरण 1.2

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{16 + 16}$

चरण 5.3.3

$16$ और $16$ जोड़ें.

$\sqrt{32}$

चरण 5.3.4

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{16 (2)}$

चरण 5.3.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

चरण 5.3.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$4 \sqrt{2}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + a, k)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(4, 0)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - a, k)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 4, 0)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h \pm a, k)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(4, 0), (- 4, 0)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + c, k)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(4 \sqrt{2}, 0)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - c, k)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 4 \sqrt{2}, 0)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(4 \sqrt{2}, 0), (- 4 \sqrt{2}, 0)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

चरण 8.3.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

चरण 8.3.1.3

$16$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

चरण 8.3.1.4

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.4.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

चरण 8.3.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

चरण 8.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

चरण 8.3.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

चरण 8.3.2.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sqrt{2}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$4^{2}$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

$4^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

चरण 9.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.2.1

$4 \sqrt{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

चरण 9.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

चरण 9.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.2

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 9.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 9.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 9.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

चरण 9.3.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.1

$4 \sqrt{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

चरण 9.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

चरण 9.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

चरण 9.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

चरण 9.3.4.2.4

$2 \sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \sqrt{2}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ रूप का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

चरण 11

$1 \cdot x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1 \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$y = 1 \cdot x$

चरण 11.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x$

चरण 12

$- 1 \cdot x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1 \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$y = - 1 \cdot x$

चरण 12.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = x, y = - x$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(0, 0)$

शीर्ष: $(4, 0), (- 4, 0)$

फ़ॉसी: $(4 \sqrt{2}, 0), (- 4 \sqrt{2}, 0)$

उत्क्रेंद्रता: $\sqrt{2}$

फोकल पैरामीटर: $2 \sqrt{2}$

अनंतस्पर्शी: $y = x$ , $y = - x$

चरण 15