कैलकुलस उदाहरण

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (e)$

चरण 2.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (t)$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 3.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 3.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\ln (t)$ पर और $1$ पर $- u^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

चरण 5.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

चरण 6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

चरण 6.3

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\ln (t)}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

चरण 6.4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$0 + 1$

चरण 6.4.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$