कैलकुलस उदाहरण

$\int \ln (2 x + 1) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (2 x + 1)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ और $\frac{2}{2 x + 1}$ को मिलाएं.

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

चरण 2.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

चरण 4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

चरण 5

$x$ को $2 x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + \frac{1}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

चरण 5.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

चरण 10

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

चरण 11

मान लीजिए $u = 2 x + 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u = 2 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 11.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 11.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 11.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 11.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 11.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 11.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 11.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

चरण 12.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 14.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 15

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

चरण 16

सरल करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

चरण 17

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

चरण 18.1.2

$\ln (| 2 x + 1 |)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

चरण 18.2

$\frac{x}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

चरण 18.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

$\frac{x}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

चरण 18.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

चरण 18.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

चरण 18.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.5.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

चरण 18.5.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 18.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 18.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 18.6

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 19

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

चरण 20

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$ को $\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (2 x + 1) x - x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.2

$- x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.3

$- x$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.6

एक सामान्य भाजक का उपयोग करके $\ln (2 x + 1) x$ और $\frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.6.1

$\ln (2 x + 1)$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$x \ln (2 x + 1) + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.6.2

$x \ln (2 x + 1)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x \ln (2 x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.6.3

$x \ln (2 x + 1)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2 - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 21.7

$2$ को $x \ln (2 x + 1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

चरण 22

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)) + C$