कैलकुलस उदाहरण

$x \sqrt{2 x - 1} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sqrt{2 x - 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ और ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$x \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x - 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 4.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 4.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

चरण 5

$u^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 7.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ को $\frac{1}{3} x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.2

$\frac{x}{3}$ और ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.3

$\frac{2}{5}$ को $\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.4

$5$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.5

$2$ और $30$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.2.1

$30$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 9.2.6

$- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

चरण 9.2.7

$- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

चरण 9.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

चरण 9.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{1}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

चरण 9.2.10

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

चरण 9.2.11

$- 3$ और $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

चरण 9.2.12

$- 3 u^{\frac{5}{2}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

चरण 9.2.13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.13.1

$15$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

चरण 9.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

चरण 9.2.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

चरण 9.2.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

चरण 9.2.15

$x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

चरण 9.2.16

$x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

चरण 9.2.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

चरण 9.2.18

$5$ को $x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{5 \cdot (x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

चरण 9.2.19

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ को फिर से लिखें.

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

चरण 9.2.20

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

चरण 9.2.21

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{15} (5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$