कैलकुलस उदाहरण

y = ln (e^{x} + x e^{x})

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

चरण 1

मान लें

y = f (x)

$y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (ln (e^{x} + x e^{x}))

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

चरण 2

यह ध्यान में रखते हुए कि

y

$y$ ,

x

$x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर

ln (y)

$\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

चरण 2.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = \ln (x)$ और

$g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u_{1}$ को

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

चरण 2.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में

$\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

चरण 2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = \ln (x)$ और

$g (x) = e^{x} + x e^{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u_{2}$ को

$e^{x} + x e^{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

चरण 2.2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में

$\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

चरण 2.2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को

$e^{x} + x e^{x}$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

चरण 2.2.4

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ को

$\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

चरण 2.2.4.2

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$e^{x} + x e^{x}$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

चरण 2.2.5

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$

$a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

चरण 2.2.6

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ

$f (x) = x$ और

$g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.7

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$

$a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

चरण 2.2.8.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.1

$e^{x}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

चरण 2.2.8.2.2

$e^{x}$ और

$e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

चरण 2.2.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

$\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.2

$e^{x} + x e^{x}$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.2.2

$x e^{x}$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.2.3

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.3

$x e^{x} + 2 e^{x}$ को

$\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.4

$x e^{x} + 2 e^{x}$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.4.1

$x e^{x}$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.4.2

$2 e^{x}$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.4.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ में से

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.5

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

चरण 2.2.9.6

गुणनखंडों को

$\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

चरण 3

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में

$y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

चरण 4

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

चरण 4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$