कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \tan (t)$ पर लागू करें.

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4 \tan^{2} (t) + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$4 \tan^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2.3

$4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 \sec^{2} (t)$ को ${(2 \sec (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2.2

घातांक जोड़कर $\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\sec^{2} (t)$ ले जाएं.

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

चरण 2.2.2.2

$\sec^{2} (t)$ को $\sec (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

चरण 2.2.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 4

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t)$ और $d v = \sec^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

चरण 6

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

चरण 7

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

चरण 8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

चरण 9.2

$\tan^{2} (t)$ और $\sec (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

चरण 10

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

चरण 11

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 11.3

$\sec (t)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 12

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

चरण 13

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

चरण 14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

चरण 15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

चरण 16

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

चरण 17

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

चरण 18

$2$ और $1$ जोड़ें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

चरण 19

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 20

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 21

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 22

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 22.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 23

$\int \sec^{3} (t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

चरण 24

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

चरण 25

सरल करें.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 26

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ को $2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (\frac{x}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \frac{x}{2})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ है.

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{x}{2}$ पर लागू करें.

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1.6.1

$4 + x^{2}$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.6.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.6.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.8

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{4 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.9

स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के फलन व्युत्क्रम होते हैं.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.10

जोड़ना.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.11

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.2

उत्पाद नियम को $\frac{x}{2}$ पर लागू करें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1.12.6.1

$4 + x^{2}$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.6.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.6.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.8

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{4 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

चरण 28.1.12.9

स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के फलन व्युत्क्रम होते हैं.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

चरण 28.1.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

चरण 28.1.14

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

चरण 28.2

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

चरण 28.3

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

चरण 28.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

चरण 28.5

$4$ को $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

चरण 28.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.6.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

चरण 28.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

चरण 28.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

चरण 29

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$