बेसिक मैथ उदाहरण

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 \cos (2 θ)$ घटाएं.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\cos (3 x)$ को $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ में बदलने के लिए त्रि-कोण सर्वसमिका का इस्तेमाल करें.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

चरण 2.1.2

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

चरण 2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

चरण 2.1.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

चरण 2.1.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

चरण 2.2

$\cos (θ)$ में से $3 \cos (θ)$ घटाएं.

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

चरण 3

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 2 \cos (θ)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

चरण 3.1.2

$4 \cos^{3} (θ)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

चरण 3.1.3

$- 4 \cos^{2} (θ)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

चरण 3.1.4

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

चरण 3.1.5

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

चरण 3.1.6

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

चरण 3.1.7

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

चरण 3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

चरण 3.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

चरण 3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

चरण 3.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

महत्तम समापवर्तक, $\cos (θ) - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

चरण 3.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

चरण 4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

चरण 5

$\cos (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\cos (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (θ) - 1 = 0$

चरण 5.2

$θ$ के लिए $\cos (θ) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (θ) = 1$

चरण 5.2.2

कोज्या के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$θ = \arccos (1)$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$θ = 0$

चरण 5.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$θ = 2 π - 0$

चरण 5.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$θ = 2 π$

चरण 5.2.6

$\cos (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 5.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 5.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 5.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 5.2.7

$\cos (θ)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

$2 \cos^{2} (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 \cos^{2} (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

चरण 6.2

$θ$ के लिए $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

चरण 6.2.2

$2 \cos^{2} (θ) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2 \cos^{2} (θ) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 6.2.2.2.1.2

$\cos^{2} (θ)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

चरण 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

चरण 6.2.4.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 6.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 6.2.4.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 6.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 6.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 6.2.4.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 6.2.4.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 6.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.4.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 6.2.4.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 6.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 6.2.4.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 6.2.4.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 6.2.4.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 6.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 6.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 6.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 6.2.6

$θ$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 6.2.7

$θ$ के लिए $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 6.2.7.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$θ = \frac{π}{4}$

चरण 6.2.7.3

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

चरण 6.2.7.4

$2 π - \frac{π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 6.2.7.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.4.2.1

$2 π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 6.2.7.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

चरण 6.2.7.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.4.3.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

चरण 6.2.7.4.3.2

$8 π$ में से $π$ घटाएं.

$θ = \frac{7 π}{4}$

चरण 6.2.7.5

$\cos (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 6.2.7.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 6.2.7.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 6.2.7.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 6.2.7.6

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6.2.8

$θ$ के लिए $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.1

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 6.2.8.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ का सटीक मान $\frac{3 π}{4}$ है.

$θ = \frac{3 π}{4}$

चरण 6.2.8.3

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

चरण 6.2.8.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

चरण 6.2.8.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.4.2.1

$2 π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

चरण 6.2.8.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

चरण 6.2.8.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.4.3.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

चरण 6.2.8.4.3.2

$8 π$ में से $3 π$ घटाएं.

$θ = \frac{5 π}{4}$

चरण 6.2.8.5

$\cos (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 6.2.8.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 6.2.8.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 6.2.8.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 6.2.8.6

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6.2.9

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6.2.10

उत्तरों को समेकित करें.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8

$2 π n$ और $2 π + 2 π n$ को $2 π n$ में समेकित करें.

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए