एलजेब्रा उदाहरण

$x^{3} + 6 x^{2} - 32$

चरण 1

$x^{3} + 6 x^{2} - 32$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} + 6 x^{2} - 32 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ है.

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चरण 2.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

चरण 2.1.1.3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.1.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 32$

चरण 2.1.1.3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 + 6 \cdot 2^{2} - 32$

चरण 2.1.1.3.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 + 6 \cdot 4 - 32$

चरण 2.1.1.3.4

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$8 + 24 - 32$

चरण 2.1.1.3.5

$8$ और $24$ जोड़ें.

$32 - 32$

चरण 2.1.1.3.6

$32$ में से $32$ घटाएं.

$0$

चरण 2.1.1.4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 32}{x - 2}$

चरण 2.1.1.5

$x^{3} + 6 x^{2} - 32$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

चरण 2.1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$

चरण 2.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 2.1.1.5.7

भाज्य $8 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 2.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$

चरण 2.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $8 x^{2} - 16 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$

चरण 2.1.1.5.10

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

चरण 2.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$

चरण 2.1.1.5.12

भाज्य $16 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$

चरण 2.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$
							+	$16 x$	-	$32$

चरण 2.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $16 x - 32$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$
							-	$16 x$	+	$32$

चरण 2.1.1.5.15

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$
							-	$16 x$	+	$32$
										$0$

चरण 2.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 8 x + 16$

चरण 2.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ लिखें.

$(x - 2) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

चरण 2.1.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.2.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x - 2) (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

चरण 2.1.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

चरण 2.1.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

चरण 2.1.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 4$ है.

$(x - 2) {(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.3

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 2.4

${(x + 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

${(x + 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए ${(x + 4)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.5

अंतिम हल वे सभी मान हैं जो $(x - 2) {(x + 4)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं. मूल की बहुलता मूल के प्रकट होने की संख्या है.

$x = 2$ ( $1$ का गुणा)

$x = - 4$ ( $2$ का गुणा)

$x = 2$ ( $1$ का गुणा)

$x = - 4$ ( $2$ का गुणा)

चरण 3