एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

चरण 4.1.2

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

चरण 4.1.3

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

चरण 4.1.4

$- 7$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 27 + 27 + 21 - 21$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 27$ और $27$ जोड़ें.

$0 + 21 - 21$

चरण 4.2.2

$0$ और $21$ जोड़ें.

$21 - 21$

चरण 4.2.3

$21$ में से $21$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

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चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(- 3)$ के परिणाम को भाज्य $(3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

चरण 6.5

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

चरण 6.6

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

चरण 6.7

परिणाम $(- 7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(21)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

चरण 6.8

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

चरण 6.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

चरण 6.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{2} - 7$

चरण 7

किसी भी शेष मूल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$x^{2} = 7$

चरण 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

चरण 7.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{7}$

चरण 7.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{7}$

चरण 7.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

चरण 8

बहुपद को रैखिक गुणनखंडों के सेट के रूप में लिखा जा सकता है.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

चरण 9

ये बहुपद $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ के मूल (शून्य) हैं.

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

दशमलव रूप:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

चरण 11