ऊपरी और निम्न सीमायें ज्ञात कीजिये x^4-48x^2-49

चरण 1

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49$

$q = \pm 1$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 7, \pm 49$

चरण 2

$\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 7}$ पर $x = 7$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

चरण 2.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

चरण 2.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(7)$ से गुणा करें और $(7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$

चरण 2.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$	$7$

चरण 2.5

परिणाम $(7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(7)$ से गुणा करें और $(49)$ के परिणाम को भाज्य $(- 48)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$

चरण 2.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$

चरण 2.7

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(7)$ से गुणा करें और $(7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$

चरण 2.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$	$7$

चरण 2.9

परिणाम $(7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(7)$ से गुणा करें और $(49)$ के परिणाम को भाज्य $(- 49)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$

चरण 2.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$	$0$

चरण 2.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (1) x + 7$

चरण 2.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$

चरण 3

चूंकि $7 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $7$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $7$

चरण 4

$\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 7}$ पर $x = - 7$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

चरण 4.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

चरण 4.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(- 7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$

चरण 4.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

चरण 4.5

परिणाम $(- 7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(49)$ के परिणाम को भाज्य $(- 48)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

चरण 4.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$

चरण 4.7

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(- 7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$

चरण 4.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

चरण 4.9

परिणाम $(- 7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(49)$ के परिणाम को भाज्य $(- 49)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

चरण 4.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$	$0$

चरण 4.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (1) x - 7$

चरण 4.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 7 x^{2} + x - 7$

चरण 5

चूंकि $- 7 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 7$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 7$

चरण 6

$\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 49}$ पर $x = 49$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(49)$ से गुणा करें और $(49)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$	$49$

चरण 6.5

परिणाम $(49)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(49)$ से गुणा करें और $(2401)$ के परिणाम को भाज्य $(- 48)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$

चरण 6.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$	$2353$

चरण 6.7

परिणाम $(2353)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(49)$ से गुणा करें और $(115297)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$

चरण 6.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

चरण 6.9

परिणाम $(115297)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(49)$ से गुणा करें और $(5649553)$ के परिणाम को भाज्य $(- 49)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

चरण 6.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$	$5649504$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + 49 x^{2} + (2353) x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} + 49 x^{2} + 2353 x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

चरण 7

चूंकि $49 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $49$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $49$

चरण 8

$\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 49}$ पर $x = - 49$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

चरण 8.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

चरण 8.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 49)$ से गुणा करें और $(- 49)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$

चरण 8.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$	$- 49$

चरण 8.5

परिणाम $(- 49)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 49)$ से गुणा करें और $(2401)$ के परिणाम को भाज्य $(- 48)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$

चरण 8.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$	$2353$

चरण 8.7

परिणाम $(2353)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 49)$ से गुणा करें और $(- 115297)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$

चरण 8.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

चरण 8.9

परिणाम $(- 115297)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 49)$ से गुणा करें और $(5649553)$ के परिणाम को भाज्य $(- 49)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

चरण 8.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$	$5649504$

चरण 8.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 49 x^{2} + (2353) x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

चरण 8.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 49 x^{2} + 2353 x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

चरण 9

चूंकि $- 49 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 49$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 49$

चरण 10

ऊपरी और निचली सीमाएँ निर्धारित करें.

उच्च परिबंध: $7, 49$

निम्न परिबंध: $- 7, - 49$

चरण 11

एलजेब्रा उदाहरण