एलजेब्रा उदाहरण

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

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चरण 1.1

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{5}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

चरण 1.1.2

$- 3 x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

चरण 1.1.3

$3 x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

चरण 1.1.4

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

चरण 1.1.5

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2})$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

चरण 1.1.6

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x)$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

चरण 1.1.7

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

चरण 1.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ है.

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चरण 1.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1$

चरण 1.2.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.2.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

चरण 1.2.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

चरण 1.2.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

चरण 1.2.3.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

चरण 1.2.3.5

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

चरण 1.2.3.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 + 3 - 1$

चरण 1.2.3.7

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$1 - 1$

चरण 1.2.3.8

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0$

चरण 1.2.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

चरण 1.2.5

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

चरण 1.2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

चरण 1.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 1.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 1.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

चरण 1.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 1.2.5.7

भाज्य $- 2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 1.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

चरण 1.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{2} + 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

चरण 1.2.5.10

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

चरण 1.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

चरण 1.2.5.12

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

चरण 1.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

चरण 1.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

चरण 1.2.5.15

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

चरण 1.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 2 x + 1$

चरण 1.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ लिखें.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

चरण 1.3

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

चरण 1.3.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

चरण 1.3.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

चरण 1.3.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है.

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

चरण 1.4

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

चरण 1.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{2} {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

चरण 1.4.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

चरण 3

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 3.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 3.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 4

${(x - 1)}^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${(x - 1)}^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{3} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{3} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 1$

चरण 6