एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18$

चरण 1

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$3 x^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3}) + 12 x^{2} + 3 x - 18 = 0$

चरण 2.1.1.2

$12 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2}) + 3 x - 18 = 0$

चरण 2.1.1.3

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2}) + 3 (x) - 18 = 0$

चरण 2.1.1.4

$- 18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 6 = 0$

चरण 2.1.1.5

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3} + 4 x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 6 = 0$

चरण 2.1.1.6

$3 (x^{3} + 4 x^{2}) + 3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3} + 4 x^{2} + x) + 3 \cdot - 6 = 0$

चरण 2.1.1.7

$3 (x^{3} + 4 x^{2} + x) + 3 \cdot - 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) = 0$

चरण 2.1.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ है.

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चरण 2.1.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 2.1.2.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.2.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

चरण 2.1.2.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

चरण 2.1.2.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

चरण 2.1.2.3.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 4 + 1 - 6$

चरण 2.1.2.3.5

$1$ और $4$ जोड़ें.

$5 + 1 - 6$

चरण 2.1.2.3.6

$5$ और $1$ जोड़ें.

$6 - 6$

चरण 2.1.2.3.7

$6$ में से $6$ घटाएं.

$0$

चरण 2.1.2.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

चरण 2.1.2.5

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

चरण 2.1.2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

चरण 2.1.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.1.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.1.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

चरण 2.1.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

चरण 2.1.2.5.7

भाज्य $5 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

चरण 2.1.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

चरण 2.1.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{2} - 5 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

चरण 2.1.2.5.10

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

चरण 2.1.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

चरण 2.1.2.5.12

भाज्य $6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

चरण 2.1.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

चरण 2.1.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x - 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

चरण 2.1.2.5.15

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

चरण 2.1.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 5 x + 6$

चरण 2.1.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ लिखें.

$3 ((x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)) = 0$

चरण 2.1.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 5 x + 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 5 x + 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $6$ है और जिसका योग $5$ है.

$2, 3$

चरण 2.1.3.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$3 ((x - 1) ((x + 2) (x + 3))) = 0$

चरण 2.1.3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 ((x - 1) (x + 2) (x + 3)) = 0$

चरण 2.1.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 (x - 1) (x + 2) (x + 3) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 2.3

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.4

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 2.5

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 (x - 1) (x + 2) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 2, - 3$

चरण 3