एलजेब्रा उदाहरण

x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6

$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

चरण 1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 5 x^{3} + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

चरण 2

$- 5 x^{3} + 5 x^{2}$ में से

$- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- 5 x^{3}$ में से

$- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x^{2} (x) + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

चरण 2.2

$5 x^{2}$ में से

$- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1) + x^{4} + 5 x - 6$

चरण 2.3

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1)$ में से

$- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6$

चरण 3

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड

$x^{4} + 5 x - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 3.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक

$0$ के बराबर है, इसलिए

$1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{4} + 5 \cdot 1 - 6$

चरण 3.3.2

$1$ को

$4$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 5 \cdot 1 - 6$

चरण 3.3.3

$5$ को

$1$ से गुणा करें.

$1 + 5 - 6$

चरण 3.3.4

$1$ और

$5$ जोड़ें.

$6 - 6$

चरण 3.3.5

$6$ में से

$6$ घटाएं.

$0$

चरण 3.4

चूँकि

$1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को

$x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} + 5 x - 6}{x - 1}$

चरण 3.5

$x^{4} + 5 x - 6$ को

$x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो

$0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

चरण 3.5.2

भाज्य

$x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

चरण 3.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

चरण 3.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$x^{4} - x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

चरण 3.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

चरण 3.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

चरण 3.5.7

भाज्य

$x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

चरण 3.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

चरण 3.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

चरण 3.5.10

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

चरण 3.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

चरण 3.5.12

भाज्य

$x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

चरण 3.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

चरण 3.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

चरण 3.5.15

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

चरण 3.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

चरण 3.5.17

भाज्य

$6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

चरण 3.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

चरण 3.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$6 x - 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

चरण 3.5.20

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

चरण 3.5.21

चूंकि रिमांडर

$0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{3} + x^{2} + x + 6$

चरण 3.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में

$x^{4} + 5 x - 6$ लिखें.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 6)$

चरण 4

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 4.1.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक

$0$ के बराबर है, इसलिए

$- 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

चरण 4.1.3.2

$- 2$ को

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

चरण 4.1.3.3

$- 2$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + 4 - 2 + 6$

चरण 4.1.3.4

$- 8$ और

$4$ जोड़ें.

$- 4 - 2 + 6$

चरण 4.1.3.5

$- 4$ में से

$2$ घटाएं.

$- 6 + 6$

चरण 4.1.3.6

$- 6$ और

$6$ जोड़ें.

$0$

चरण 4.1.4

चूँकि

$- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को

$x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 6}{x + 2}$

चरण 4.1.5

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ को

$x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

$0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

चरण 4.1.5.2

भाज्य

$x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$

चरण 4.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 4.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 4.1.5.5

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

चरण 4.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

चरण 4.1.5.7

भाज्य

$- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

चरण 4.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

चरण 4.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$- x^{2} - 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

चरण 4.1.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

चरण 4.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

चरण 4.1.5.12

भाज्य

$3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

चरण 4.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

चरण 4.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$3 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 4.1.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

चरण 4.1.5.16

चूंकि रिमांडर

$0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x + 3$

चरण 4.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ लिखें.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

चरण 4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

चरण 5

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ में से

$x - 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 5 x^{2} (x - 1)$ में से

$x - 1$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

चरण 5.2

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ में से

$x - 1$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

चरण 5.3

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$ में से

$x - 1$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + (x + 2) (x^{2} - x + 3))$

चरण 6

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके

$(x + 2) (x^{2} - x + 3)$ का प्रसार करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

घातांक जोड़कर

$x$ को

$x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x$ को

$x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$x$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.1.2

$1$ और

$2$ जोड़ें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.3

घातांक जोड़कर

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x$ ले जाएं.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.3.2

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.4

$3$ को

$x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

चरण 7.5

$- 1$ को

$2$ से गुणा करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 3)$

चरण 7.6

$2$ को

$3$ से गुणा करें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 6)$

चरण 8

$- x^{2}$ और

$2 x^{2}$ जोड़ें.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + 3 x - 2 x + 6)$

चरण 9

$3 x$ में से

$2 x$ घटाएं.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 6)$

चरण 10

$- 5 x^{2}$ और

$x^{2}$ जोड़ें.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6)$

चरण 11

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1.1

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 11.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 11.1.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक

$0$ के बराबर है, इसलिए

$- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

चरण 11.1.1.3.2

$- 1$ को

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

चरण 11.1.1.3.3

$- 1$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

चरण 11.1.1.3.4

$- 4$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 1 - 4 - 1 + 6$

चरण 11.1.1.3.5

$- 1$ में से

$4$ घटाएं.

$- 5 - 1 + 6$

चरण 11.1.1.3.6

$- 5$ में से

$1$ घटाएं.

$- 6 + 6$

चरण 11.1.1.3.7

$- 6$ और

$6$ जोड़ें.

$0$

चरण 11.1.1.4

चूँकि

$- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को

$x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

चरण 11.1.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ को

$x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1.5.1

$0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

चरण 11.1.1.5.2

भाज्य

$x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

चरण 11.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 11.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 11.1.1.5.5

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

चरण 11.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

चरण 11.1.1.5.7

भाज्य

$- 5 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

चरण 11.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

चरण 11.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$- 5 x^{2} - 5 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

चरण 11.1.1.5.10

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

चरण 11.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 11.1.1.5.12

भाज्य

$6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 11.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 11.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

$6 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

चरण 11.1.1.5.15

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

चरण 11.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर

$0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 5 x + 6$

चरण 11.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ लिखें.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

चरण 11.1.2

AC विधि का उपयोग करके

$x^{2} - 5 x + 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके

$x^{2} - 5 x + 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल

$c$ है और जिसका योग

$b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल

$6$ है और जिसका योग

$- 5$ है.

$- 3, - 2$

चरण 11.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x - 2)))$

चरण 11.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x - 2))$

चरण 11.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x - 2)$