एलजेब्रा उदाहरण

$x^{2} - y^{2} = 1$

चरण 1

$x = r \cos (θ)$ के बाद से, $x$ को $r \cos (θ)$ से बदलें.

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

चरण 2

$y = r \sin (θ)$ के बाद से, $y$ को $r \sin (θ)$ से बदलें.

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = r \cos (θ)$ और $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

चरण 3.1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1.1

गुणनखंडों को $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ और $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.1.2

$- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ और $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ जोड़ें.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.1.3

$r \cos (θ) (r \cos (θ))$ और $0$ जोड़ें.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.2.1

घातांक जोड़कर $r$ को $r$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.2.1.1

$r$ ले जाएं.

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.1.2

$r$ को $r$ से गुणा करें.

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.2

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.2.2.1

$\cos (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.2.2

$\cos (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.4

घातांक जोड़कर $r$ को $r$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.2.4.1

$r$ ले जाएं.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.4.2

$r$ को $r$ से गुणा करें.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.5

$- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.2.5.1

$\sin (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.5.2

$\sin (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

चरण 3.1.1.3.2.5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

चरण 3.1.1.3.2.5.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

चरण 3.2

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ में से $r^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- r^{2} \sin^{2} (θ)$ में से $r^{2}$ का गुणनखंड करें.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

चरण 3.2.2

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ में से $r^{2}$ का गुणनखंड करें.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

चरण 3.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \cos (θ)$ और $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

चरण 3.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

चरण 3.4

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ के प्रत्येक पद को $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ के प्रत्येक पद को $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ से विभाजित करें.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\cos (θ) + \sin (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.4.2.2

$\cos (θ) - \sin (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.4.2.2.2

$r^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.5

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

चरण 3.6

$\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

चरण 3.6.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

चरण 3.6.3

$\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ को $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ से गुणा करें.

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

चरण 3.6.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

चरण 3.6.4.2

$\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

चरण 3.6.4.3

$\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

चरण 3.6.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

चरण 3.6.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

चरण 3.6.4.6

${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ को $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.6.1

$\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ को ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.6.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.6.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.6.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

चरण 3.6.4.6.5

सरल करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.7

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.7.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

चरण 3.7.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$